נגזרת שניה – מתמטיקה

כאשר נתונה פונקציה $f(x)$

אם יש הפונקציה היא שבר כשבמכנה יש נעלם (x) – –
- תחום הגדרה – בודקים מתי המכנה שווה לאפס, ואם זה קורה, אז רושמים תחום הגדרה
- תחום ההגדרה של אפס במכנה יכול ליצור אסימפטוטה אנכית או "חור", וצריך לציין זאת במידה ואנחנו משרטטים את הגרף. יש למצוא לפי חוקי מציאת אסימפטוטות אנכיות.
- מציאת אסימפטוטות אופקיות: בודקים את החזקה של הנעלם הגבוה ביותר במונה ובמכנה:
  - אם החזקה הגבוהה ביותר נמצאת במונה – הפונקציה שואפת לאינסוף – אין אסימפטוטה אופקית (לא נכנסים כרגע לאסימפטוטה משופעת)
  - אם החזקה הגבוהה ביותר נמצאת במכנה – הפונקציה שואפת לאפס כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – אסימפטוטה אופקית y=0
  - אם למונה ולמכנה יש את אותה חזקה גבוהה, יש אסימפטוטה אופקית לפי יחס המקדמים של החזקות הגבוהות
מציאת נקודות חיתוך עם הצירים:
- עם ציר ה- X: מציבים y=0. אפשר לקבל כמה פתרונות או שום פתרון
- עם ציר ה- Y: מציבים x=0. נקבל פתרון יחיד אלא אם יש תחום הגדרה שבו $x\ne0$
מציאת נקודות קיצון: נגזור ונשווה לאפס $f'(x)=0$ . נמצא נקודות x חשודות ואותן נבדוק
מציאת נקודות מינימום ומקסימום. נגזור פעם שניה ונמצא את $f''(x)$ . נציב בנגזרת השניה את הנקודות החשודות שמצאנו בסעיף 2:
- אם $f''>0$ , הפונקציה שמחה ולכן יש לה נקודת מינימום – שימו לב שבמקרה זה אנחנו אומרים שהפונ' קמורה (למרות שהיא נראית קעורה)
- אם $f''<0$ , הפונקציה עצובה ולכן יש לה נקודת מקסימום – שימו לב שבמקרה זה אנחנו אומרים שהפונ' קעורה (למרות שהיא נראית קמורה)
- אם $f''=0$ , צריך לבדוק את הנקודה באמצעים כבדים יותר…
תחום עליה וירידה:
- כאשר $f'>0$ , הפונקציה עולה
- כאשר $f'<0$ , הפונקציה יורדת
- תחום עליה וירידה יכול לומר לנו איזו נקודת קיצון יש לנו – במידה ולא מצאנו בסעיף 4:
  - אם לפני הנקודה הפונקציה עולה וגם לאחריה היא עולה, יש נקודת פיתול
  - אם לפני הנקודה הפונקציה ירדה וגם לאחריה היא יורדת, יש נקודת פיתול
  - אם לפני הנקודה הפונקציה עולה, ואחרי הנקודה היא יורדת, זו נקודת מקסימום
  - אם לפני הנקודה הפונקציה יורדת, ואחרי הנקודה היא עולה, זו נקודת מינימום
תחום קעירות/קמירות – כאשר , הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה. בדר"כ לא צריך את הנתון הזה אבל הוא עוזר כאשר צריך לשרטט את הפונ' בצורה יותר מדוייקת, או כאשר נתון גרף הנגזרת וצריך מזה לשרטט את הפונקציה המקורית
- נק' מעניינת (כן… מה זה מעניינת…) היא שכאשר $f''=0$ יש לנגזרת $f'(x)$ נק' קיצון.

מתמטיקה – 581

Tag Archives: נגזרת שניה

חקירת פונקציות